현재까지도 거래 가능한 자산의 정확한 가격 결정에 동의하는 것은 매우 어려운 일입니다. 그래서 주가는 끊임없이 변화하고 있습니다. 실제로 회사는 평상시에 가치 평가를 거의 바꾸지 않지만 주가와 평가는 매 초마다 바뀝니다. 이는 거래 가능한 자산의 현재 가격에 대한 합의에 도달하기 어렵다는 것을 보여 주며, 이로 인해 차익 거래 기회가 생깁니다. 그러나 이러한 차익 거래 기회는 실제로 오래 살지 않습니다.

현재의 밸류에이션은 모두 내려갑니다 - 예상되는 미래 수익에 대해 현재의 현재 가격은 얼마입니까? 경쟁 시장에서 차익 거래 기회를 피하기 위해 동일한 보수 구조를 가진 자산은 동일한 가격을 가져야합니다. 옵션의 평가는 어려운 과제 였고 가격 결정의 높은 변동이 관찰되어 차익 거래 기회를 이끌어 냈습니다. Black-Scholes는 가격 옵션에 사용되는 가장 인기있는 모델 중 하나로 남아 있지만 자체 제한이 있습니다. (더 자세한 정보는

옵션 가격 책정 참조). 이항 옵션 가격 결정 모델은 가격 결정 옵션에 사용되는 또 다른 인기있는 방법입니다. 이 기사에서는 몇 가지 포괄적 인 단계별 예제를 설명하고이 모델을 적용 할 때의 위험 중립 개념에 대해 설명합니다. (관련 독서는 옵션 값을 얻기위한 이항 모델 분해 참조).

이 기사는 사용자에게 옵션 및 관련 개념과 용어에 익숙하다고 가정합니다. 현재 시장 가격이 $ 100 인 특정 주식에 콜 옵션이 있다고 가정합니다. ATM 옵션의 유효 기간은 1 년입니다. 피터와 폴은 주식 가격이 1 년에 110 달러로 떨어지거나 90 달러로 하락할 것이라는 데 동의하는 두 명의 상인이있다. 그들은 둘 다 1 년간의 주어진 시간 틀에서 기대 가격 수준에 동의하지만, 상승 움직임 (그리고 아래 움직임)의 확률에 대해서는 의견이 다르다. 베드로는 주식 가격이 110 달러가 될 확률이 60 % 인 반면 폴은 40 %라고 믿는다.

위의 내용을 토대로 통화 옵션에 대해 더 많은 비용을 지불 할 의사가있는 사람은 누구입니까?

가능성이 높은 피터.

이것을 검증하고 이해하기위한 계산을 봅시다. 평가에 의존하는 두 가지 자산은 통화 옵션과 기본 주식입니다. 참가자들 사이에 근본적인 주가가 1 년 만에 현재 100 달러에서 110 달러 또는 90 달러로 움직일 수 있다는 합의가 이루어졌으며 다른 가능한 가격 움직임은 없습니다. 차익 거래가없는 세계에서 두 가지 자산 (콜 옵션 및 기본 주식)으로 구성된 포트폴리오를 만들어야 만 기본 가격의 위치 (110 달러 또는 90 달러)와 관계없이 항상 포트폴리오의 순 수익률 동일하게 유지됩니다.이 포트폴리오를 작성하기 위해 기본 및 단 한 통화 옵션의 'd'주를 구입한다고 가정합니다.

가격이 110 달러가되면 우리 주식은 110 달러 *의 가치가있을 것이고 짧은 콜 수익으로 10 달러를 잃을 것입니다. 포트폴리오의 순 가치는 (110d - 10)입니다.

가격이 $ 90로 떨어지면 우리 주식은 $ 90 * d의 가치가 있고 옵션은 무용지물이 될 것입니다. 포트폴리오의 순 가치는 (90d)입니다. 우리가 포트폴리오의 가치를 동일하게 유지하기를 원한다면, 기본 주식 가격이 어디에 있든 관계없이, 포트폴리오 가치는 어느 경우에도 동일하게 유지되어야합니다. 이자형. : (110d - 10) = 90d -> d = 1 / 2 - 9i. 이자형. 우리가 절반의 주를 사는 경우 (부분 구매가 가능할 때), 우리는 주어진 기간 내에 1 년이라는 두 가지 상태 모두에서 그 가치가 동일하게 유지되도록 포트폴리오를 만들 것입니다. (포인트 1)

(90d) 또는 (110d -10) = 45로 표시된이 포트폴리오 값은 1 년 아래입니다. 그것의 현재 가치를 계산하기 위해, 그것은 위험 자유로운 수익률 (5 % 가정)에 의해 할인 될 수있다.

=> 90d * exp (-5 % * 1 년) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => 포트폴리오의 현재 가치

현재 포트폴리오는 기본 주식의 ½ 시장 가격 $ 100)과 1 회의 단 통화의 경우 i 위에 계산 된 현재 가치와 같아야합니다. 이자형.

=> 1 / 2 * 100 - 1 * 통화 가격 = 42. 85

=> 통화 가격 = $ 7. 14 i. 이자형. 오늘의 콜 가격. 이것은 포트폴리오 가격이 기본 가격이 어느 방향 (위의 1 번 지점)에 관계없이 동일하게 유지된다는 위의 가정에 기반하기 때문에 위 또는 아래로 움직일 확률은 여기에서 아무런 역할을하지 않습니다. 포트폴리오는 근본적인 가격 변동과 무관하게 위험 부담이 없습니다.

두 경우 모두 (110 달러로 상향 조정하고 90 달러로 하향 조정), 우리의 포트폴리오는 위험에 대해 중립적이며 위험 자유로운 수익률을 얻습니다.

따라서 상인 인 Peter와 Paul은 모두 7 달러를 기꺼이 지불 할 것입니다. (60 % 및 40 %)에 상관없이이 통화 옵션에 대해 14 점을 선택해야합니다. 위의 예에서 볼 수 있듯이 개별적으로 인식되는 확률은 옵션 평가에서 아무런 역할을하지 않습니다.

개인의 확률이 중요하다고 가정하면 재정 거래 기회가 존재했을 것이다. 현실 세계에서 그러한 차익 거래 기회는 작은 가격 차이로 존재하며 단기간에 사라집니다.

그러나 옵션 가격 결정에 영향을 미치는 중요한 (그리고 가장 민감한) 요소 인 이러한 모든 계산에서의 과장된 변동성은 어디에 있습니까?

휘발성은 이미 문제 정의의 성격에 포함되어있다. 우리는 가격 수준 ($ 110과 $ 90) 중 두 가지 (그리고 단지 2 가지 - 그리고 따라서 "2 항"이라는 이름) 상태를 가정하고 있음을 기억하십시오. 휘발성은이 가정에 함축되어 있으므로 자동으로 포함됩니다 (이 예에서는 10 %).

이제 우리의 접근 방식이 일반적으로 사용되는 Black-Scholes 가격 정책과 정확하고 일관성이 있는지 확인하기 위해 온 전성 검사를 해봅시다. (참조 :

블랙 숄즈 옵션 평가 모델

).

다음은 계산 된 값과 거의 일치하는 옵션 계산기 결과 (OIC의 호의)의 스크린 샷입니다. 불행히도, 현실 세계는 "단지 두 국가"만큼 간단하지 않습니다. 거기에 만료 시간까지 재고에 의해 달성 할 수있는 몇 가지 가격 수준이 있습니다.

이 두 수준을 모두 두 가지 수준으로 제한되는 이항 가격 결정 모델에 포함시킬 수 있습니까? 네, 아주 가능합니다. 이해하기 위해 간단한 수학을 배우겠습니다.

몇 가지 중간 단계를 요약하여 결과에 초점을 맞추기 위해 건너 뜁니다.

이 문제와 해결책을 일반화하자 : 는 주식의 현재 시장 가격이고 'X * u'와 'X * d'는 위 / 아래 이동의 미래 가격이다 ' 몇 년 후. Factor 'u'는 이동을 나타내고 'd'는 0과 1 사이에 위치하므로 1보다 커야합니다. 위의 예에서 u = 1입니다. 1 및 d = 0이다. 9.

만료시 통화 옵션 지불은 'P

up '이고 'P dn

'입니다.

오늘 구입 한 주식 포트폴리오를 만들고 짧은 통화 옵션을 만든 다음 시간이 지나면

up 이동의 경우 포트폴리오 가치 = X * u - P

d * P * dn

하락 이동의 경우 포트폴리오 가치 x * d - P

dn

(999 ℉ -999 ℉) / (X * (ud )) = 아니오. 위험이없는 포트폴리오를 구입하기 위해 주식을 매입하는 것 _{t 년 후 포트폴리오의 미래 가치는} up move = s * X * u - P _up (X (ud)) * X - u - P - 999 up 999 위의 현재 값은 할인 위험 자유로운 수익률 :

이는 X 가격의 주식 보유 포트폴리오와 짧은 콜 값 'c'i와 일치해야합니다. 이자형. (s * X - c)의 현재 보유는 상기와 동일해야합니다. C에 대한 해결은 마지막으로 c를 다음과 같이 나타냅니다.

통화 프리미엄을 줄이는 것이 포 트폴리오에 추가 할 경우입니다. _{위 방정식을 쓰는 또 다른 방법은 다음과 같이 재정렬하는 것입니다.}

q를 _{로 취하면 위의 방정식이됩니다.}

방정식을 "q"로 다시 정렬하면 새로운 시각이 제공됩니다. 는 P ( up

와 관련되어 있고 "1-q"는 P _{dn과 연관되어 있기 때문에 "q"는 현재 기본의 상향 이동 확률로 해석 될 수있다.} ). 전반적으로 위의 방정식은 현재 옵션 가격 i를 나타냅니다. 이자형. 만기시의 보수의 할인 가치. _{이 확률 "q"는 기초가되는 위로 또는 아래로 움직일 확률과 어떻게 다른가?}

시간 t = q * X * u + (1-q) * X * d에서 주가의 가치 q의 값을 대입하고 재 배열하면, 시간 t의 주가는 _{i . 이자형. 이 두 국가의 가정 된 세계에서 주식 가격은 위험 자유로운 수익률로 단순히 상승한다. 이자형. 위험이없는 자산과 동일하므로 위험으로부터 독립적입니다.모든 투자자는이 모델 하에서 위험에 무관심하며 위험 중립적 모델을 구성합니다.} 확률 "q"와 "(1-q)"는 위험 중립적 확률이라고하며, 평가 방법은 위험 중립적 평가 모델이라고합니다. _{위의 예는 중요한 요구 사항 중 하나입니다. 미래의 보수 구조는 정밀도 ($ 110 및 $ 90 수준)가 필요합니다. 실생활에서 단계 기반 가격 수준에 대한 그러한 명확성은 불가능합니다. 오히려 가격이 무작위로 움직이며 여러 단계로 정할 수 있습니다.} 예제를 더 확장 해 보겠습니다. 2 단계 가격 수준이 가능하다고 가정합니다. 우리는 두 번째 단계의 최종 보수를 알고 있고 오늘 (즉 초기 단계에서) 옵션을 평가할 필요가있다.

거꾸로 작업하면서 중간 단계의 첫 번째 단계 평가 (t = 1에서)는 단계 2에서 최종 보수를 사용하여 수행 할 수있다 (t = 2)를 계산 한 다음 계산 된 첫 번째 단계 평가 (t = 1)를 사용하여 위의 계산을 사용하여 현재 날짜 평가 (t = 0)에 도달 할 수 있습니다.

옵션 가격은 no. 2의 경우 4와 5의 보수가 사용됩니다. 아니오에 대한 가격을 얻으려면. 3에서 5와 6의 보수가 사용됩니다. 마지막으로 계산 된 2와 3의 보수는 no로 가격을 책정하는 데 사용됩니다. _{이 예에서는 두 단계에서 위 (및 아래) 이동에 대해 동일한 요소가 있다고 가정합니다 - u (및 d)는 복합 방식으로 적용됩니다.} 다음은 계산을 사용한 작업 예제입니다. _{현재 파업 가격 $ 110의 풋 옵션이 현재 $ 100로 거래되고 1 년 후에 만료됩니다. 연간 무위험 이자율은 5 %입니다. 가격은 20 % 증가하고 6 개월마다 15 % 하락할 것으로 예상됩니다.} 문제를 구조화합시다 : _{여기, u = 1. 2이고 d = 0.85, X = 100, t = 0이다.} 위의 유도 된 공식을 사용하여, 점 2에서 풋 옵션의 값을 358028329999로 얻는다. *1. 2 * 1. 2 = $ 144가 P _upup

= 0

P

updn

조건에서 기본 = 100 * 1이됩니다. 2 * 0. 85 = $ 102는 P

updn

= $ 8

로 이어집니다. P

dndn _{조건에서 기본은 = 100 * 0이됩니다. 85 * 0. 85 = 72 달러. P} dndn _{= $ 37로 이어지는 25. 유사하게, p & lt; 999 & gt; & gt; 999 & lt; 999 & gt; & lt; 999 & gt; 975309912 * (0. 35802832 * 8+ (1-0.38282832) * 37.75) = 26. 42958924 따라서 put 옵션의 값은 1 999 = 0이다. 975309912 * (0. 35802832 * 5. 008970741+ (1-0.38282832) * 26. 42958924) =} $ 18. 비슷하게, 2 항 모델은 하나의 전체 옵션 지속 시간을 분할하여 더 많은 단계 / 레벨을 개선 할 수 있도록합니다. 컴퓨터 프로그램이나 스프레드 시트를 사용하면 한 번에 한 단계 씩 뒤로 작업하여 원하는 옵션의 현재 가치를 얻을 수 있습니다.

2 진법 옵션 평가를위한 3 가지 단계를 포함하는 또 다른 예제를 통해 결론을 맺으십시오.

유럽 유형의 Put 옵션을 가정하고, 파업 가격 $ 12 및 현재 기본 가격 $ 10으로 만료됩니다. 모든 기간에 대해 위험 자유 율은 5 %라고 가정합니다. 매 3 개월을 가정하면 기본 가격이 20 % 위 또는 아래로 움직여 u = 1이됩니다. 2, d = 0이다. 8, t = 0. 25 및 3 단계 이항 트리.

빨간색은 기본 가격을 나타내고 파란색은 풋 옵션의 결과를 나타냅니다. 위험 중립 확률 q는 0. 531446으로 계산된다. t의 상기 값 및 t = 9 개월에서의 보수 값을 사용하여, t = 6 개월에서의 상응하는 값은 다음과 같이 계산된다 : t = 6의 계산 된 값, t = 3의 값, t = 0의 값은 다음과 같습니다.

풋 옵션의 현재 날짜 값을 $ 2로 지정합니다. Black-Scholes 모델 ($ 2.3)을 사용하여 계산 된 값에 매우 가깝습니다.

결론 컴퓨터 프로그램을 사용하면 이러한 집중적 인 계산을 쉽게 할 수 있지만 미래 가격의 예측은 여전히 ​​남아 있습니다 옵션 가격 결정을위한 이항 모델의 주요 한계. 시간 간격이 더 세밀할수록 각 기간의 끝에서 보수를 정확하게 예측하는 것이 어려워집니다. 그러나 다른시기에 예상대로 변경 내용을 통합 할 수있는 유연성이 추가되어 플러스가되어 초기 운동 평가를 비롯하여 미국 옵션 가격 책정에 적합합니다. 이항 모델을 사용하여 계산 된 값은 옵션 가격 결정을위한 이항 모델의 유용성과 정확성을 나타내는 Black-Scholes와 같이 일반적으로 사용되는 다른 모델에서 계산 된 값과 거의 일치합니다. 이항 가격 모델은 상인의 ​​선호도에 따라 개발 될 수 있으며 Black-Scholes의 대안으로 사용할 수 있습니다.